Strukturdynamik - Kapitel 4

06 May 2025, Malte Krack

Wiederholung: Vorgehen nach Newton-Euler

Freischneiden der Einzelkörper, Eintragen der Reaktionskräfte und -momente
Aufstellen von Impuls- und Drallsätzen je einzelnem Körper $i$.

Für ebene Bewegungen starrer Körper (x-y-Ebene):\

Impulssätze:

$$m_i \ddot{x} c_{,i} = \sum_j F_{j,x}$$

$$m_i \ddot{y} c_{,i} = \sum_j F_{j,y}$$

Drallsatz:

$$J_i^{(A)} \ddot{\varphi} _i = \sum_k M_{k}^{(A)}$$

Wahl verallgemeinerter Koordinaten, Eleminieren der Reaktionskräfte/ -momente und übrigen Koordinaten (unter Ausnutzung kinematischer Zwangsbedingungen)

Drallsatz gilt in dieser einfachern Form nur, falls Punkt A Schwerpunkt oder raumfester Punkt des Körpers ist

Wiederholung: Vorgehen nach Lagrange

Bestimmen der kinetischen und potentiellen Energie des Gesamtsystems

kinetische Energie eines sich in der x-y-Ebene bewegenden Starrkörpers $i$:

$$E_k^i = \frac{1}{2} m_i (\dot{x}^2 _{C,i} + \dot{y}^2 _{C,i}) + \frac{1}{2} J_{zz,i}^{(C)} \dot{\varphi} _{z,i}^{2} = \frac{1}{2} J_{zz,i}^{(Q)} \dot{\varphi} _{z,i}^{2}$$

$$Q: \text{raumfester Punkt (allgemein: Momentanpol)}, C: \text{Schwerpunkt}$$

Potenzielle Energie (Beispiele):

$$E_p = \frac{1}{2} k \Delta l^2$$

$$E_p = m g h$$

Wahl der verallgemeinerten Koordinaten $q_s, \quad s=1,2,\dots, n$
Bestimmen der verallgemeinerten Kräfte infolge incht-konservativer Kräfte und Momente (ebener Fall)

$$Q_s^{nk} = \sum_i F_{i,x}^{nk} \frac{\partial \dot{x} _i}{\partial \dot{q} _s} + F_{i,y}^{nk} \frac{\partial \dot{y} _i}{\partial \dot{q} _s} + \sum_j M_{j,z}^{nk} \frac{\partial \dot{\varphi} _{j,z}}{\partial \dot{q} _s}$$

Aufstellen der Lagrange'schen Gleichungen

$$\frac{d}{dt}(\frac{\partial E_k}{\partial \dot{q}_s}) - \frac{\partial E_k}{\partial q_s} + \frac{\partial E_p}{\partial q_s} = Q_s^{nk}, \quad s=1,2,...,n$$