Messverfahren des Wärmetransports - Wärmestrahlung, Wärmeleitung

24 October 2025, Rico Poser

Nomenklatur

$h, [\frac{W}{m^2K}]$ - Wärmeübergangskoeffizient
$k, [\frac{W}{mK}]$ - Wärmeleitfähigkeit
$T, [K]$ - Temperatur
$\Theta, [K]$ - Temperatur
$\dot{Q}, [W]$ - Wärmestrom
$\dot{q}, [\frac{W}{m}]$ - spezifischer Wärmestrom, gibt es in längenspezifisch, flächenspezifisch, volumenspezifisch

Grundlagen des Wärmetransports

• Wärmestrahlung
• Wärmeleitung
• Wärmeübertragung durch Konvektion

Wärmestrahlung

• Benötigt kein Medium
• Emissionsgrad $\varepsilon$,Reflektionsgrad $\rho$, Absorptionsgrad $\alpha$, (irgendwas) $\tau$
  • $\varepsilon = \alpha$
  • Schwarzer / grauer / selektiver Strahler
• Wichtige Strahlungsgesetze
  • Placksches Strahlungsgesetz
  • Stefan-Boltzmann-Gesetz
  • Wiensches Verschiebungsgesetz

Placksches Strahlungsgesetz

$$ M_\lambda(\lambda, T) = \frac{c_1}{\lambda^5}\frac{1}{exp(\frac{c_2}{\lambda T})-1} $$

• $M_\lambda$ - Spektrale spezifische Ausstrahlung
• $c_1 = 2 \pi h_p c^2 = 3,74177153(17) \cdot 10^{16}Wm^2$
• $c_2 = \frac{k_p c}{k_B} = 1,4387770(13) \cdot 10^{-2}mK$

Näherungslösungen

Für kleine Werte von $\lambda T$
$\rightarrow exp(\frac{c_2}{\lambda T}) - 1 \approx exp(\frac{c_2}{\lambda T})$

Ergibt sich das Wiensche Strahlungsgesetz $$ M_{\lambda}(\lambda, T) \approx \frac{c_1}{\lambda^5} \frac{1}{exp(\frac{c_2}{\lambda T})} $$ Für große $\lambda T$ und kleine x ergibt sich folgendes: $exp(x) \approx 1+x$
Für $\lambda T \rightarrow \infty$ ergibt sich das Rayleigh-Jeans-Gesetz $$ M_\lambda(\lambda, T) \approx \frac{c_1 T}{c_2 \lambda^4} $$

Stefan-Boltzmann-Gesetz

$$ M(T) = \int_0^\infty M_\lambda(\lambda, T) d\lambda $$ $$ M(T) = \sigma_{SB}T^4 $$ $$ \sigma_{SB} = \frac{2 \pi^5 k_B^4}{15 h_p^3 c^2} = 5,670373(21) \cdot 10^{-8} \frac{W}{m^2K^4} $$

$$ Q_{k, em} = A_k \varepsilon_k \sigma_{SB} T_k $$ $$ \dot{Q}_{k, abs} = A_k \alpha_k \sigma_{SB} T_\infty^4 $$ $$ \rightarrow \ddot{Q}_k = \dot{Q}_{k, em} - \dot{Q}_{k, abs} = A_k \sigma_{SB}(\varepsilon_k T_k^4-\alpha_k T_\infty^4) $$

Wiensches Verschiebungsgesetz

Aus erster Ableitung des Planckschen Strahlungsgesetzes

$\rightarrow \lambda_{max} = \frac{b}{T}$
mit $b = \frac{c_2}{\xi} = 2,8977721 \cdot 10^{-3} mK$ - Wiensche Verschiebungskonstante
$\xi = 5[1-exp(-\xi)] \approx 4,96511$

Wärmeleitung

Benötigt ein Medium

Mikroskopische vs Makroskopische Betrachtung

• Makroskopische Betrachtung
  • Fourierscher Erfahrungssatz
  • Fouriersche Wärmeleitungsgleichung
• Mikroskopische Betrachtung
  • Wiedemann-Franz-Gesetz

Wiedemann-Franz-Gesetz 1853

Es gibt einen Zusammenhang zwischen Wärmeleitfähigkeit und Elektischer Leitfähigkeit

$$ \frac{k}{\sigma} = L T $$

$k$ - Wärmeleitfähigkeit
$\sigma$ - elektrische Leitfähigkeit $L$ - Lorenzzahl (Proportionalitätsfaktor)

Experimente zeigten, dass für fast alle reinen Metalle $L = 2,4 \cdot 10^{-8} \frac{W\Omega}{K^2} \pm 10 %$ ungefär gleich groß ist
Um 1900 Drude-Modell, um $L$ zu beschreiben: $$ L = \frac{3}{2}(\frac{k_B}{e})^2 = 1,11 \cdot 10^{-8} \frac{W \Omega}{K^2} $$ um 1933 erweiterung des Modells zur Drude-Sommerfeld-Theorie $$ L = \frac{\pi^2}{3}(\frac{k_B}{e})^2 = 2,44 \cdot 10^{-8} \frac{W \Omega}{K^2} $$ Smith-Palmer-Korrelation $$ k = L \sigma T + c $$ $L \sigma T$ - Beitrag der freien Elektronen
$c$ - Beitrag der Schwingungen des Atom-Gitters

Fourierscher Erfahrungssatz 1822

$$ \vec{\dot{q}_A} = - k \nabla T $$ Vereinfachungen: nur 1D Betrachtung $$ \dot{q}_A = -k \frac{dT}{dx} $$ $$ \dot{Q} = -k A \frac{\Delta T}{\Delta x} $$