Mehrgrößenregelung - Vorlesung

10 April 2025, Torbjørn Cunis

Organisation

Übung freitags 14:00-15:30
Vorwissen:

Prüfung:

Grundlagen

Zustandsraumdarstellung / -modell (ZRD)

Beispiel für ein Eingrößensystem: Gefesselter Wagen\

Impulssatz: $$m \ddot{y} = f - d \dot{y} - k y$$ bzw. $$\ddot{y} + \frac{d}{m} \dot{y} +\frac{k}{m} y = \frac{1}{m} f$$ Neue Variablen: $x_1 = y, x_2 = \dot{y}, u = f$
$$\dot{x_1} = x_2$$ $$\dot{x_2} = -\frac{k}{m} x_1 - \frac{d}{m} x_2 + \frac{1}{m} u$$ Matrizen- bzw. Vektorschreibweise x = $(x_1, x_2)$

Beispiel für ein Mehrgrößensystem: Torsionsschwinger

Drallsatz: $$I \ddot{\phi_1} = c(u_1 - \phi_1) + c(\phi_2 - \phi_1)$$ $$I \ddot{\phi_2} = c(\phi_1 - \phi_2) + c(\phi_3 - \phi_2)$$ $$I \phi_3 = c(\phi_2 - \phi_3) + c(u_2 - \phi_3)$$ Neue Variablen: $x_1 = \phi_1, x_2 = \dot{\phi_1}, x_3 = \phi_2, x_4 = \dot{\phi_2}, x_5 = \phi_3, x_6 = \dot{\phi_3}$
Ausgänge: $y_1 = \phi_1, y_2 = \phi_3, a = 2 \frac{c}{I}$

Konzepte der Zustandsraumdarstellung

Allgemeine Form: $$\dot{x} = A x + B u, x(0) = x_0$$ $$y = c x + D u$$ Begriffe:
$x \epsilon \mathbb{R}^n$ - Zustand(svektor), $n \epsilon \mathbb{N}$
$u \epsilon \mathbb{R}^n$ - Eingang(svektor), $m \epsilon \mathbb{N}$
$y \epsilon \mathbb{R}^n$ - Ausgang(svektor), $r \epsilon \mathbb{N}$
$y \epsilon \mathbb{R}^{n\times n}$ - Systemmatrix
$B \epsilon \mathbb{R}^{n\times m}$ - Eingangs- / Steuermatrix
$C \epsilon \mathbb{R}^{r\times n}$ - Beobachtungs- / Ausgangsmatrix
$D \epsilon \mathbb{R}^{r\times m}$ - Durchgangsmatrix

Definition: System ist sprungfähig, g.d.w. $D \neq 0$
$A, B, D, D$ sind Konstant - lineares, zeitinvariantes System
Trajektorie: zeitlicher Verlauf $x:R_{\geqq 0} -> \mathbb{R}^n$ als Lösung des Anfangswertproblems durch $A, B, C, D x_0 \epsilon \mathbb{R}^n, u(-)$ gegeben

Ausblick