Leichtbau 1 - Vorlesung

30 October 2025, Maged Sorour

Geometrische Kenngrößen von Strukturkomponenten

Allgemein gilt für die Spannung:

$$ \text{Spannung} = \frac{\text{Schnittkraftgröße}}{\text{geometrischer Kennwert}}\cdot \text{Verteilungsgesetz} $$

Spannungen können Normalspannungen oder Schubspannungen sein

Biegehauptgleichungen (Bernoulli, Balkentheorie, ETB)

• $x-y-z$: Rechts Koordinatensystem
• $z$ ist Balkenachse
  • $F$ pos. (in $z$ - Richtung) $\rightarrow \sigma$ postitiv Zug
  • $M_x$ positiv ergibt im pos. $y$-Bereich $\sigma$ positiv
  • $M_y$ positiv ergibt im pos. $x$-Bereich $\sigma$ negativ

Gesucht ist die längs- (normal) -spannungsverteilung im Längsquerschnitt: $\sigma_z(x,y) = ?$

• Annahmen
  1. Kleine Verformungen im elastischen Bereich $\rightarrow$ linearer Bereich im Spannung/Dehnung Diagramm mit $\sigma = \xi \cdot E$
  2. Querschnittsgestalt bleibt erhalten $\rightarrow$ ein Kreis bleibt ein Kreis, wird nicht zu Ellipse verformt,...
  3. Querschnitte bleiben eben: Die Ebenen auf Balkenachse senkrecht stehende Querschnitte bleiben nach Belastung eben und senkrecht auf Balkenachse

Der Querschnitt führt eine Drehung um eine Neutralachse (Keine Verwölbung) Kinematik: Drehen des Querschnittes erzwingt eine lineare Dehnungsverteilung $\varepsilon \rightarrow \sigma \text{ist linear verteilt}$

Linearer Ansatz für $\sigma_z(x,y)$

$$ \sigma_z(x,y) = a+by+cx \quad (1) $$

Unbekannte a, b, c müssen bestimmt werden
Scnittlasten sind Resultierende der Spannungsverteilung im Querschnitt
Lösen mit Summe aller Momente, Summe aller Kräfte

$$ F = \int_A \sigma_z(x,y) {dA} \quad (2) $$

$$ M_x = \int_A \sigma_z(x,y) \cdot y {dA} \quad (3) $$

$$ M_y = - \int_A \sigma_z(x,y) \cdot x {dA} \quad (4) $$

(1) in (2)

$$ F = a\int_A dA + b\int_A y {dA} + c\int_A x {dA} \quad (5) $$

(1) in (3)

$$ M_x = a \int_A y {dA} + b \int_A y^2 {dA} + c \int_A x \cdot y {dA} \quad (6) $$

(1) in (4)

$$ M_z = - a \int_A x {dA} - b \int_A x \cdot y {dA} - c \int x^2 {dA} \quad (7) $$

• $S_x$ - Statisches Moment um die x-Achse
• $S_y$ - Statisches Moment um die y-Achse
• $J_x, J_y, J_{xy}$ - Flächenträgheitsmoment

$$ F = a \cdot A + b \cdot S_x + c \cdot S_y $$

$$ M_x = a \cdot S_x + b \cdot J_x + c \cdot J_{xy} $$

$$ M_y = -a \cdot S_y - b \cdot J_{xy} - c \cdot J_y $$