Analytische und Numerische Methoden - Numerik

03 July 2025, Andrea Beck

Finites Volumen Verfahren

Diskretisierung

Überführung des kontinuierlichen Problems in ein diskretes

• Überführung der Differentialgleichungen in approximative, algebraische Gleichungen
• Reduktion der Freiheitsgrade

Welche Physikalischen Größen werden in die Diskretisierung eigentlich mitgenommen?

Idee des Finite Volumen Verfahrens

Folie 7 unten Gleichung Erklärung:
Die zeitliche Änderung des Integrals von $u$ in meinem kontroll volumen ist gleich den normal ausströmenden Flüssen von $u$

Godunov's Idee

Numerischer Fluss: Was ist der gültige Fluss, der durch die eingeführte Diskretisierung entsteht und den physikalischen Fluss möglichst genau approximiert?

• Idee Teil 1: Die Lösung innerhalb einer Zelle ist konstant und gleich ihrem Mittelwert
• Damit liegt an jedem Rand zwischen 2 Gitterzellen ein Anfangswertproblem mit stückweise konstanten Anfangswerten vor:
  • Dies ist sog. Riemannproblem
• Idee Teil 2: Der numerische Fluss g ist der physikalische Fluss ausgewertet an der Lösung des Riemannproblem

Für hyperbolische Probleme: Exakte Lösungen des Riemannproblems berechenbar

• Lösungsidee: Berücksichtigung der Ausbreitungsrichtung von Information entlang von Charakteristiken
• Beispiel nächste Vorlesung: Eulergleichungen der Gasdynamik
• Godunov’s Idee: Exakte Lösung der zugrundeliegenden Transportgleichung für das AWP

Der Kern des FV-Verfahrens, die Flussberechnung, ist physikalisch sinnvoll: Wellenausbreitung wird berücksichtigt

Lineare Advektion

Konvervatives Verfahren: Das Verfahren ändert nichts an der Erhaltung
Folie 13: Der Mittelwert der Anfangslösung und der Lösung nach vielen Durchläufen bleibt gleich - "So schlecht das Verfahren auch ist, es erhält den Mittelwert in Masse, Impuls, Energie, ..." Geht auch besser mit feinerem Gitter etc.
Gewisse Eigenschaften können fest in das Verfahren eingebaut werden - Finites Volumenverfahren erhält den Mittelwert