Analytische und Numerische Methoden - Numerik

05 June 2025, Andrea Beck

Testate

Alle Hilfsmittel sind erlaubt (Aber nicht überstrapazieren)

Erstes Testat am 18.6.

Numerische Lösung von elliptischen Differenzialgleichungen

Das Differenzenverfahren

  1. Schritt: Diskretisierung des Räumlichen Rechengebiets
  2. Schritt: Auswahö und Einsetzen der Differenzenquotienten
  3. Schritt: Sortieren der Differenzengleichungen
  4. Lösen des Gleichungssystems

Differenzenverfahren auf randangepassten Gittern

Differenzialoperator kann jetzt nicht mehr durch etwas einfacheres wie eine Sekantensteigung ersetzt werden.

Trick: Transformation des Gebiets auf Referenzgebiet: Abbildung des gekrümmten Elements (physikalisch) auf ein logisches Gebiet, in dem wir es wieder mit einem Rechteck zu tun haben.

mitschrieb1

Gegenoperation mit $T^{⁻1}$ möglich

Dann lösen und wieder auf das physikalische Rechengebiet zurücktransformieren

Beispiel Ab Folie 9 (angenommen xi und eta sind bekannt)

mitschrieb1

$\frac{d x}{d x_i}$ nennt man die *Metrik*

Finite Elemente Verfahren für elliptische Gleichungen

  1. Schritt: Multiplikation mit einer Testfunktion und Integration
  2. Schritt in 2D: Partielle Integration

Das Galerkin-Verfahren: Unendliche Basis von $H^1$ durch eine endlich dimensionale Basis ersetzen, z.B. Hutfunktionen. In schwacher Formulierung kein Problem, dass die Hutfunktionen an einzelnen Punkten nicht stetig differenzierbar sind.

Basisfunktionen und lokale Steifigkeits- und Massenmatrix

Einsetzen des Ansatzes in die schwacher Formulierung und Wahl der Basisfunktionen als Testfunktionen ergibt das Galerkin-Verfahren. Vereinfachung: Alle Basisfunktionen Null auf dem Rand - homogene Dirichlet-Randwerte

$$\int_\Omega \nabla u (\underline{x}) \cdot \nabla \varphi (\underline{x}) d \Omega = - \int_\Omega f(\underline{x}) \varphi(\underline{x}) d\Omega$$