Analytische und Numerische Methoden - Numerik

22 April 2025, Andrea Beck

Kapitel 4

Übersicht über grundlegende Methoden der Numerik:

Approximation bedeutet: Man sucht eine (einfachere) Funktion $p = p(x), x$ aus $[a,b]$, welche die gegebene Funktion $f = f(x), x$ aus $[a,b]$ möglichst gut approximiert\

einfacher ansatz

Ansatz: Näherung $p$ ist eine Linearkombination von einfachen Basisfunktionen

Wir brauchen ein Maß dafür, wie gut eine Approximation die tazächliche Funktion Annährt
möglichst gut könnte bedeuten, bezüglich einer Norm:

$$||p(x) - f(x)|| = minimal$$

Zum Beispiel möglichst gut im quadratischen Mittel (Siehe markierte Fläche in der Skizze):

$$||p(x) - f(x)||_2 = \frac{1}{b-a} \sqrt{\int_a^b(p(x)-f(x))^2dx}$$

oder auch möglichst gut bezüglich dem maximalen Abstand (Folien Seite 5):

$$||p(x) - f(x)||_\inf = ...$$

kollokation

Kollokation, Folie 6

Kollokation: beschreibt, dass wir zwei Dinge an einem Punkt gleichsetzen (Überbegriff)
Interpolation: Spezieller Name des Annährungsverfahrens über eine Interpolationsfunktion

Wahl der Basisfunktionen

Darstellung eines Interpolationspolynoms

  1. Mit Hilfe der Monombasis

monombasis

Monombasis
  1. Lagrange Darstellung

lagrange darstellung

Lagrange Darstellung

Werden auch Lagrangesche Basis-Polynome genannt
Definiert durch die Vorgabe der Punkte $x_i$

  1. Newtonsche Darstellung

newtonsche Darstellung

Newtonsche Darstellung, Folie 12

Prüfungsähnliche Frage Beispiel 4.2 Folie 12

Die Güte des Interpolationspolynoms und dessen Stabilität hängt von der Wahl der Stützstellen ab. Punkteverteilungen, bei denen die Interpolationspunkte sich am Rand verdichten, bessern die Approximation, z.B. die Gaußpunkte oder die Chebyshev-Punkte (Siehe Folie 14)

$$x_i = \frac{a+b}{2} - \frac{b-a}{2} cos(\frac{i \pi}{N})$$

Alternative: Äquidistante Stützstellen - aber mit stückweisen Polynomen: Splines

Stückweise kubische Polynome, die weniger oder fast nicht schwingen

Fazit: Approximation durch Interpolationspolynome