Analytische und Numerische Methoden - Analytik

17 April 2025, Bernhard Weigand

DImensionsanalyse

Buckinham - Theorem (Pi - Theorem)

$$f(p_1, p_2, p_3, ..., p_n)$$

p stellen physikalische größen dar, Zahlenwert und Einheit, z.B.

$$a \rightarrow m s^{-2}$$

Basisgröße	Dimension	SI-Einheit
Länge	$L$	m - Meter
Masse	$M$	kg - Kilogramm
Tempp	$\gamma$	K - Kelvin
Zeit	$\tau$	s - Sekunde
Stoffmenge	$\eta$	mol - Mol
Stromstärke	$I$	A - Ampere
Lichtstärke	$S$	cl - Coudela

Basisgrößen System (Menschgemacht und damit Willkürlich)

Basisgröße	Dimension	SI-Einheit
Beschleunig.	$a$	$L \tau^{-2}$
Dichte	$\rho$	M L^{-3}
Druck	$p$	P a = M L^{-1} \tau^{-2}
...	...	...

Physikalische Größen

$[p_j] = \prod_{i=1}^m (x_i)^{a i j}$
$[]$: Domension von $p_j$
$p_j$: physikalische Größe
$x_i$: Basisgrößen Beispiel:

$$[u] = [p_1] = L \tau^{-1}; \quad x_1 = L; \quad a_{11} = 1; \quad x_2 = \tau \quad a_{21} = -1$$

Das Theorem gibt uns einen Zusammenhang zwischen der Anzahl der physikalischen größen $n$ und der Anzahl der unabhängigen dimensionslosen Größen $d$, die im Problem auftreten. Es ist:

$$d = n - r$$

d = anzahl der dimensionslosen größen
n = Anzahl der physikalischen größen
r = Rang der dimensionsmatrix

Beispiel

Aerodynamischer Wiederstand einer Kugel, die einer gleichmäßigen Anströmung ausgesetzt wird
Kugeldurchmesser $D$
Anströmgeschwindigkeit $U$
Wiederstand $W$
Dynamische Viskosität $\eta$
Dichte des Fluids $\varrho$\

$$W = fn(U, D, \eta, \rho)$$

beispiel

Beispiel aerodynamischer Wiederstand einer Kugel

$\eta$ und $\varrho$ sind die einzigen Größen in der Tabelle die noch einen Eintrag in der Zeit $\tau$ haben $\rightarrow$ kann für das Problem keine Rolle spielen, weil sie nicht mit einer anderen Größe dimensionslos gemacht werden können

$$\frac{W}{\varrho u^2 D^2} \stackrel{!}{=} f(\frac{u D \varrho}{\eta})$$

Dimensionslose Größen und deren Physikalische Bedeutung

Pi- Theorem

phsikalischer zusammenhang kässt sich immer als funktion physikalischer größen oder als zusammenhang dimensionsloser größen beschreiben

physikalische größe einheit setzt sich immer aus basisgrößen zusammen - dimension einer physikalischen größen ist die multiplikation aller basisgrößen zusammen (mit einem exponenten)