Analytische und Numerische Methoden - Analytik
16 April 2025, Bernhard Weigand
Einleitung der Differentialgleichungen
Normalformen
Hyperbolische Typ: $B^2 - 4 A C > 0$
$$\frac{\partial^2 u}{\partial \xi \partial \eta} = H_1(\xi, \eta, u, \frac{\partial u}{\partial \xi}, \frac{\partial u}{\partial \eta})$$
$$\frac{\partial^2 u}{\partial \alpha^2} - \frac{\partial^2 u}{\partial \beta^2} = H_2(\alpha, \beta, u, \frac{\partial u}{\partial \alpha}, \frac{\partial u}{\partial \beta}); \quad \alpha = \xi + \eta; \beta = \xi - \eta$$
Parabolischer Typ: $B^2 - 4 A C = 0$
Eine reelle Charakteristik, siehe 2.42 Skript
Eliptischer Typ: $B^2 - 4 A C < 0$
zwei komplex konjugierte Charakteristiken, siehe 2.46 Skript
Beispiel
$c_1$ und $c_2$ sind konstant und können frei gewählt werden, daher kann man sie mit $\xi$ und $\eta$ austauschen
$\alpha$ und $\beta$ nötig, weil $\xi$ und $\eta$ komplex konjugiert sind $\rightarrow$ Es müssen Randbedingungen an der ganzen Oberfläche des Gebiets definiert werden, kann nicht mit den komplex konjugierten Koordinaten gemacht werden - Wechsel zu reellen Koordinaten
Klassifizierung von Systemen von linearen partiellen DGLs erster Ordnung
Systeme von partiellen Differenzialgleichungen lassen sich in verschiedene Typen einteilen (2.77 Skript)
- Elliptisch
- Hyperbolisch
- Parabolisch
Charakterisierung über die Eigenwertgleichung
$$(A - \lambda B) t = 0$$
$$...$$
Beispiele
Siehe 2.62 im Skript
Einschub - Dimensionsanalyse
Einheiten / Dimensionen sind von Menschen eingeführt und vorgeschrieben
Für jedes gegebene Problem spielt nur eine Dimensionslose Größe eine Rolle
Beispiele:
- Beine eines Elefanten / einer Maus haben im Querschnitt gleiche wirkende Spannungen
- Herzschlag eines Kolibris / eines Wals haben die gleiche dimensionslose Frequenz
Für viele Probleme spielen charakteristische Länge, charakteristische Zeit, ... die größte Rolle
Viele Probleme werden dimensionslos einfacher
Weiter mit der Dimensionsanalyse in der nächsten Vorlesung