Analytische und Numerische Methoden - Vorlesung

15 April 2025, Bernhard Weigand, Andrea Beck

Freiwillige Zusatzaufgaben

Jeweils 10 Punkte
Vierergruppen

Semesteraufgaben Analytik (Gegen mitte des Semesters)

• Gleicher Ablauf wie in bisherigen Semestern

Semesteraufgaben Numerik (Im Verlauf des Semesters)

• Erster Teil
  • Aus dem Bereich Programmieren
  • Theoretische Teile
• Zweiter Teil
  • Zwei Testate zu Beginn der Übungen
  • Angekündigt
  • Multiple choice
  • 5 bis 10 min

Einführung

Analytische Methoden Sinnvoll um Richtigkeit der Numerischen Lösungen zu überprüfen / abzuschätzen
Partielle DGL werden durch höchste Ableitung beschrieben (Erster Ordnung / Zweiter Ordnung / ...)
Lineare DGLs: Jeder Term hat die gesuchte Funktion nur einmal
Nicht-lineare DGLs: gesuchte funktion taucht im Term mehrmals auf
Nicht Lineare DGLs: Prinzip der Superposition kann nicht ausgenutzt werden - Lösung muss alle Randbedingungen auf einmal erfüllen und kann nicht durch das Zusammensetzen einfacherer Sub-Probleme gefunden werden.\

Einteilung der Differentialgleichungen

(Eine Differenzialgleichung ist also linear, wenn die Koeffizienten nur von den unabhängigen Variablen abhängen. Die Gleichung ist im anderen Fall nichtlinear. Hängen die Koeffizienten vor den höchsten Ableitungen nicht von den höchsten Ableitungen der gesuchten Funktion ab, so nennt man die Gleichung auch quasilinear.)

$$\delta c \frac{\partial T}{\partial t} = \lambda \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}$$

• lineare, partielle DGL
• zweiter Ordnung
• $\tilde{T} = c T$

$$\delta c(T) \frac{\partial T}{\partial t} = \lambda \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}$$

• nichtlineare, partielle DGL
• zweiter Ordnung

Klassifizierung für lineare partielle DGLs 2. Ordnung

Die allgemeinste Form einer in den abhängigen Variablen linearen partiellen Differenzialgleichung zweiter Ordnung

$$A \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + B \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} + C \frac{\partial u}{\partial y^2} + D \frac{\partial u}{\partial x} + E \frac{\partial u}{\partial y} + F u = G$$

Kann durch Koordinatentransformation auf eine Normalform gebracht werden, es wird zwischen drei Fällen unterschieden

• Parabolische (Charakteristiken bilden zwei reelle Scharen)
• Hyperbolische (eine Schar von Charakteristiken)
• Elliptische DGL (Charakteristiken sind konjugiert komplex)

Vereinfacht sich die Gleichung durch die Nutzung anderer Koordinaten?\

$$A^* \frac{\partial^2 u}{\partial \xi^2} + B^* \frac{\partial^2 u}{\partial \xi \partial \eta} + C^* \frac{\partial u}{\partial \eta^2} + D^* \frac{\partial u}{\partial \xi} + E^* \frac{\partial u}{\partial \eta} + F^* u = G^*$$

mit (Skript 2.17 bis 2.23)

$$A^* = A(\frac{\partial \xi}{\partial x})^2 + B\frac{\partial \xi}{\partial x}\frac{\partial \xi}{\partial y} + C(\frac{\partial \xi}{\partial y})^2$$

$$B^* = ...$$

$$C^* = ...$$

$$...$$

Charakteristische Gleichungen

$$\frac{dx}{dy} = (B + \sqrt{(B^2 - 4 A C)}) / (2A)$$

$$\frac{dy}{dx} = (B - \sqrt{(B^2 - 4 A C)}) / (2A)$$

Charakteristiken

$$\xi = \varphi_1(x,y)$$

$$\eta = \varphi_2(x,y)$$